A

مطبوعـــــــات الابداع في الرياضيــــات
التغير ومتوسط معدل التغير


اذا كان س متغيراً حقيقياً وتغيرت قيمته من س1 الى س2 فإن :
التغير في س = س2 – س1 ويرمز له بالرمز س ( ويقرأ دلتا س) . أي أن :
س = س2-س1
خذ الدالة ص = د(س) علماً بان س هي المتغير المستقل ، ص المتغير التابع لذلك اذا تغيرت س من القيمة س1 الى القيمة س2 فان ص تتغير من القيمة د(س2) الى القيمة د(س1) أي ان :
س = س2 – س1 ص = د(س2 ) – د(س1)
ويمكن كتابة س2 = س1 + س
اذن التغير في ص هو :
ص = د( س1 + س) – د(س1)
وبايجاد نسبة التغير في ص الى التغير في س نحصل على متوسط معدل تغير الدالة :
اذن متوسط معدل التغير (م.م.ت) هو :
ص د(س+ س) – د(س)
س س ( س 0)



المعنى الهندسي لمتوسط معدل التغير هو
ص تعني ميل الوتر لمنحنى الدالة ص = د(س)
س



(أ) 1- احسب متوسط معدل التغير للدالة ص = 4س عندما تتغير س من 1 الى 1.3



2- اذا كانت ص = 3س+5 فاحسب متوسط التغير في الدالة عندما تتغير س من 3 الى 3.2



3- جد متوسط معدل التغير للدالة د(س) = 3س + 2 عندما تتغير س من 1 الى 1.2



4- إذا كان ص = د(س) = 5 + س فاحسب متوسط معدل التغير عندما تتغير س من -1 الى 4 .



5- إذا كان ص = د(س) = س+3 وتغيرت س من 1 الى -2 فاحسب متوسط معدل التغير .



(ب) 1- يتحرك جسم في خط مستقيم بحيث يكون بعده ف قدم عن نقطة بداية الحركة بعد ن ثانية
يعطى بالعلاقة : ف = 16ن2 . احسب سرعته المتوسطة في الفترة من ن = 2 الى ن =2.5ثانية .




2- يتحرك جسم في خط مستقيم بحيث يكون بعده عن نقطة ثابته بعد زمن ن ثانية معطى بالعلاقة
ف = ن2 – 2ن +5 . احسب سرعته المتوسطة خلال الفترة من ن=1 الى ن= 3ث



3- اذا كانت المسافة التي يقطعها جسم متحرك ابتداءاً من نقطة ثابتة معرفة بالعلاقة ف = ن3 + 9ن
حيث ن بالثواني ، ف بالسم . اوجد السرعة المتوسطة للجسم من ن=1 الى ن=3 ثانية



4- يتحرك جسم في خط مستقيم بحيث يكون بعده ف من نقطة ثابته ن معطى بالعلاقة :
ف = ن2 – 5ن +9 . جد متوسط معدل التغير عندما تتغير ن من ن = 1ثانية الى ن =3ثواني.



(ج) 1- تتمدد صفيحة دائرية بالتسخين احسب متوسط معدل التغير في مساحتها عندما يتغير طول
نصف قطرها من 6سم الى 6.1سم .



2- تنكمش صفيحة دائرية بالتبريد احسب متوسط معدل التغير في مساحتها عندما يتغير طول نصف
قطرها من 3.2سم الى 3سم .




3- فقاعة من الصابون كروية الشكل تتمدد بالمحافظة على شكلها الكروي . احسب متوسط معدل
التغير في مساحتها السطحية عندما يتغير طول نصف قطرها من 6ملم الى 6.2ملم
( مساحة سطح الكرة = 4 نق2 )



4- بالون كروي يُملأ بالهواء بحيث يحتفظ بشكله الكروي . احسب متوسط معدل التغير في مساحة
سطح البالون عندما يتغير طول نصف قطره من 2سم الى 2.1سم .







كلما اقتربت س من الصفر تلاحظ حركة
الخط المستقيم الى ان تنطبق النقطة (ب) مع النقطة (أ)
ولذلك الوتر الواصل بين النقطتين أ،ب
مماساً للمنحنى وفي هذه الحالة يكون
نهـــــــا ص
س 0 س

اذن = نهـــــــا د(س+ س ) – د(س)
س 0 س

وتعرف بالمشتقة الأولى ( أي تعريف المشتقة الأولى )
تسمى أيضاً بمعدل التغير ، المعامل التفاضلي الأولي ، المشتقة الأولى من المبادئ الأولية