4









نظرية الاحتمالات




مسلمات نظرية الاحتمالات
إذا كان ع فضاء العينة لتجربة عشوائية ، وكان ق(ع) مجموعة جميع الحوادث المعرفة على ع فإنه يرافق كل حادثة أ ق(ع) عدد معين ح ( أ ) [ 0 ، 1] ويسمى إحتمال الحادثة أ ويتمتع بالخواص التالية : والتي تسمى مسلمات نظرية الاحتمالات :
(1) إذا كانت أ ع فإن ح ( أ ) 0
(2) ح ( ع ) = 1
(3) إذا كان أ ، ب حادثتين متنافيتين (أي : أ ب = ) فإن :
ح ( أ ب ) = ح ( أ ) + ح ( ب )
تستخدم هذه المسلمات لاثبات نظريات الاحتمالات .
نظرية : (1)
إذا كان أ / هي الحادثة المتممة للحادثة أ فإن :
ح ( أ / ) = 1 – ح ( أ )
البرهان :
من الشكل أ أ / = ع
أ أ / =
ح ( أ أ / ) = ح ( أ ) + ح ( أ / ) مسلمة ( 3)
ح ( ع ) = ح ( أ ) + ح ( أ / )
1 = ح ( أ ) + ح ( أ / ) مسلمة ( 2 )
ح ( أ/ ) = 1 – ح ( أ )
نتيجة :
ح ( ) = صفر
البرهان :
ع/ =
ح ( ع / ) = ح ( )
لكن ح ( ع / ) = 1 – ح ( ع )
ح ( ع / ) = 1 – 1 = صفر
ح( ) =صفر




نظرية : ( 2)
إذا كان أ ب فإن :
ح ( أ ) ح ( ب )


البرهان :
أ ب
ب = أ ( ب – أ )
أ ( ب – أ ) =
ح ( أ ( ب – أ )) = ح ( أ ) + ح ( ب – أ ) مسلمة (3)
ح ( ب ) = ح ( أ ) + ح ( ب – أ )
لكن ح ( ب – أ ) ح ( أ )
أي ح ( ب – أ ) 0
اذن ح ( ب ) ح ( أ ) ح ( أ ) ح ( ب )
نتيجة :
ح ( أ ) 1 حيث أ أي حادثة في ع

البرهان :
أ ع
ح ( أ ) ح ( ع )
ح ( أ ) 1
من المسلمة (1) ح ( أ ) 0، والنتيجة نستنتج أنه لأي حادثة أ فإن : 0 ح ( أ ) 1
نظرية : ( 3 )
إذا كان أ ، ب حادثتين ، يكون :
ح ( أ ب ) = ح ( أ ) + ح ( ب ) – ح ( أ ب )



البرهان :
أ ب = أ ( ب – أ )
أي أن : أ ( ب – أ ) =
اذن ح ( أ ( ب – أ )) = ح ( أ ) + ح ( ب –أ ) مسلمة (3)
ح ( أ ب ) = ح ( أ ) + ح ( ب – أ ) (1 )
لكن ب = ( ب – أ ) ( أ ب )
و ( ب – أ ) ( أ ب ) =
اذن ح ( (ب – أ ) ( أ ب ) = ح ( ب – أ ) + ح ( أ ب )
ح ( ب ) = ح ( ب – أ ) + ح ( أ ب )
ح ( ب – أ ) = ح ( ب ) – ح ( أ ب ) ( 2 )
من 1 & 2 نستنتج
ح ( أ ب ) = ح ( أ ) + ح ( ب ) – ح ( أ ب )
نتيجة :
ح ( أ – ب ) = ح ( أ ) – ح ( أ ب )


مسائل منوعة :
(1) أ ، ب حدثان منفصلان وكان : ح(أ) = 0.4 ، ح(ب) = 0.1 . جد ح(أ ب)


(2) إذا كانت أ ، ب حدثين في تجربة عشوائية حيث : ح(أ) = ، ح(ب) = ، ح( أ ب) = .
فجد ح(أ ب)



(3)إذا كان أ ، ب حدثين في تجربة عشوائية وكان : ح(أ) = ، ح(ب) = ، ح( أ ب) =
جد ح(أ ب)




(4) إذا كان أ ، ب حادثتين في تجربة عشوائية حيث :ح (أ) = 0.4 ، ح(ب) = 0.3 ، ح( أ ب) =0.2
جد : ح ( أ ب )
ح ( ب أ /)





(5) أفرض أن أ ب = في تجربة عشوائية بحيث ان : ح ( أ ) = ، ح ( ب ) = . جد :
احتمال كل من الاحداث التالية :
(i) أ أو ب (ii) أ و ب
(iii) أ – ب (iv) ب – أ
(v) أ / (vi) ( أ ب ) /
(vii) ( أ ب ) /







(6) إذا كان: ح ( أ ) = ، ح ( ب ) = ، ح ( أ ب ) = جد :
(i) ح ( أ – ب ) (ii) ح ( أ / )
(iii) ح ( أ / ب )







(7) إذا كان أ ، ب حادثتين في فضاء العينة لتجربة عشوائية حيث :
ح ( أ ) = 0.5 ، ح ( ب ) = 0.4 ، ح ( أ ب) = 0.2 . جد
(i) عبّر رمزياً بلغة المجموعات عن حادثة ( وقوع الحادثة أ فقط ) .
(ii) عبّر لفظياً بلغة الاحتمالات عن الحادثة ( أ ب ) / .
(iii) جد ( أ / ب / )






( أ ، ب حدثان في تجربة عشوائية ، فإذا كان :
ح ( أ ب ) = ، ح ( أ / ) = ، ح ( ب ) = . جد احتمال كل من الاحداث التالية
(أ‌) احتمال وقوع أ ، ب
(ب‌) احتمال وقوع أ فقط .
(ت‌) احتمال وقوع أحد الحدثين على الأكثر .






(9) في تجربة إالقاء حجر نرد مرة واحدة إذا كان احتمالات ظهور الأعداد الفردية متساوية وكل منها يساوي ، واحتمالات ظهور الأعداد الزوجية متساويةة وكل منها يساوي ، أي :
ح ( 1 ) = ح ( 3 ) = ح ( 5 ) =
ح ( 2 ) = ح ( 4 ) = ح ( 6 ) =
جد احتمالات كل من الأحداث التالية :
(أ‌) احتمال ظهور عدد زوجي . (ب) احتمال ظهور عدد فردي .
(ث‌) احتمال ظهور عدد أولي فردي (د) احتمال ظهور عدد يقبل القسمة على 3
(ج‌) احتمال ظهور عدد زوجي أو أولي احتمال ظهور عدد 4









(10) إذا كان أ = ب/ ، وكان [ح(ب)]2 = ( ح(أ) + ح(ب) ) . جد ح(أ) ، ح(ب)


